一個(gè)小小的拓?fù)鋵W(xué)問題，解決起來也是干脆利落。不過君信突然反應(yīng)過來很多的理論和推理在這個(gè)時(shí)代都還沒有流傳出來。自己在解決問題的時(shí)候又習(xí)慣性的將一些推論的過程給省略過去了，也不知道這一大批的教授能不能看得懂。所以君信對(duì)這些并不是太過在意，他在意的是在這次的考試中最后兩道附加題給他帶來的一些思考。
數(shù)學(xué)自誕生以來，便迅速發(fā)展成為人類文明進(jìn)步的重要的工具，無論是戰(zhàn)爭中的廟算，還是在文治上的稅收、人口等均離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展。
從西方的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史看來，古代的三大數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿基米德和丟番圖等建立了古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典理論，奠定了理論數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)從生活中的具象化中提取出來形成了最初的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論。
自近現(xiàn)代以來，艾沙克牛頓和德國的萊布尼茲兩人分別各自的建立了微積分，從科學(xué)的發(fā)展來說，前者的理論對(duì)物理學(xué)的影響更大，而后者的理論對(duì)數(shù)學(xué)的影響更加的巨大。且不論兩人之后的英國和德國兩個(gè)國家為了微積分的發(fā)明的大打出手，兩人建立了微積分確實(shí)是將數(shù)學(xué)的發(fā)展推向前進(jìn)。數(shù)學(xué)的發(fā)展開始進(jìn)入了一個(gè)高速前行的時(shí)期，并開始與其他的學(xué)科相互交纏，相互推進(jìn)。
之后的數(shù)學(xué)家們，如高斯、歐拉、哈代、拉格朗日、希爾伯特、格羅滕迪克等等各自引領(lǐng)著各自的時(shí)代，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的進(jìn)步。并在各自研究的領(lǐng)域取得令人難以想象的成就，就如高斯一生的成果，便是以他的名字命名的定理和公式就有上百個(gè)之多。
但是就算是這些的數(shù)學(xué)大家，依舊也有不能夠解決或者沒有解決的問題，這些問題隨著時(shí)間的變化，或是在研究的過程中取得某一方面的突破，或是在研究了幾百年之后還是一籌莫展，一直困擾著數(shù)學(xué)界。
其中最為著名的便是1900年8月世界數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，德國著名的數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特提出的著名的希爾伯特的23個(gè)問題。
希爾伯特的23個(gè)問題分為四大板塊，第一到第六題是關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題，第七到第12道題是關(guān)于數(shù)論的問題，第十三到第十八是關(guān)于代數(shù)和幾何的問題，第十九到第二十三是關(guān)于數(shù)學(xué)分析的問題。截止到21世紀(jì)初，希爾伯特的23個(gè)問題仍有一些未被解決。成為數(shù)學(xué)家們急于解決的問題。
希爾伯特的23個(gè)問題在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生的巨大影響，一直持續(xù)到了一百多年后，任然沒有消除，這與希爾伯特在數(shù)學(xué)上的巨大成就固然有著關(guān)系，但這些問題本來就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里面的難題，通過解決這些問題從而獲得的思路和想法才是這些難題才是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的最重要的價(jià)值。
舉個(gè)簡單的例子來說，費(fèi)馬大定理的證明，便是說明著名的數(shù)學(xué)猜想在推動(dòng)數(shù)學(xué)進(jìn)步的最好的例子。法國人費(fèi)馬死后，他在一本《算術(shù)》書上所寫的注記并沒有隨之湮沒。其長子意識(shí)到那些草草的字跡也許有其價(jià)值，就用五年時(shí)間整理，然后印出一個(gè)特殊的《算術(shù)》版本，載有他父親所做的邊注，那里面包含了一系列的定理。
在靠近問題8的頁邊處，費(fèi)馬寫著這么幾句話：
“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)4次冪寫成兩個(gè)4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和?！?br/>
這個(gè)喜歡惡作劇的天才，又在后面寫下一個(gè)附加的評(píng)注：
“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”
費(fèi)馬寫下這幾行字大約是在1637年，這些被僥幸發(fā)現(xiàn)的蛛絲馬跡成了其后所有數(shù)學(xué)家的不幸。一個(gè)高中生就可以理解的定理，成了數(shù)學(xué)界最大的懸案，從此將那些世界上最聰明的頭腦整整折磨了358年。一代又一代的數(shù)學(xué)天才前赴后繼，向這一猜想發(fā)起挑戰(zhàn)。
費(fèi)馬大定理與數(shù)學(xué)的歷史有著千絲萬縷的聯(lián)系，觸及到了20世紀(jì)數(shù)論中所有重要的問題。證明過程涉及了19世紀(jì)的法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦為了尋找五次方程的解而發(fā)展出的群論，20世紀(jì)的日本數(shù)學(xué)家谷山和志村提出了谷山-志村猜想，分析橢圓方程的巖澤理論和科利瓦金-弗萊切理論。最重要的是它聯(lián)系了數(shù)學(xué)中幾個(gè)各自毫無關(guān)系的領(lǐng)域，發(fā)展出了全新的數(shù)學(xué)技術(shù)。
而這些理論在費(fèi)馬大定理上的證明運(yùn)用，有再次的說明了數(shù)學(xué)猜想對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大推動(dòng)作用。故而，每一次出現(xiàn)的數(shù)學(xué)猜想的證明，無論對(duì)錯(cuò)，都會(huì)在數(shù)學(xué)界引起巨大的轟動(dòng)，他可以使得不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們放下手頭上的重要的工作，然后在一個(gè)共同的場所交流著自己的思想，從而進(jìn)一步的促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。同時(shí)，這也是數(shù)學(xué)的研究在業(yè)內(nèi)是保密性最低的科學(xué)研究的一個(gè)重要原因。
試卷上的最后兩個(gè)問題，一個(gè)出自于數(shù)論，在數(shù)論的領(lǐng)域，沒有什么比得上費(fèi)馬大定理的傳奇性要高，盡管在中國哥達(dá)巴赫猜想要更加的廣為人知一點(diǎn)。而同樣，在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域，卻也沒有什么比得上龐加萊猜想更加的吸引人了。
龐加萊猜想是法國著名的數(shù)學(xué)家龐加萊在1904年提出的一個(gè)關(guān)于流形的猜想，即“任何一個(gè)單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個(gè)三維的球面?！焙唵蔚恼f，一個(gè)閉的三維流形就是一個(gè)沒有邊界的三維空間；單連通就是這個(gè)空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)，或者說在一個(gè)封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點(diǎn)，這個(gè)空間就一定是一個(gè)三維圓球。后來，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。
這是一個(gè)在拓?fù)鋵W(xué)中具有基礎(chǔ)意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會(huì)加深人們對(duì)流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在2000年甚至被美國的克雷研究所設(shè)立為千禧年的七大世紀(jì)數(shù)學(xué)難題之一。與P對(duì)NP完全問題、霍奇猜想、黎曼假設(shè)、楊－米爾斯存在性和質(zhì)量缺口、納維葉－斯托克斯方程的存在性與光滑性、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想同時(shí)并立為千年數(shù)學(xué)難題，也是人類急需解決的數(shù)學(xué)難題。
作為普林斯頓研究所的高級(jí)研究員的君信，自然是對(duì)安德魯·懷爾斯的證明過程了如指掌，而且由于先前學(xué)習(xí)的物理學(xué)的基礎(chǔ)，所以對(duì)龐加萊猜想的證明也是了如指掌。這也是他的拓?fù)鋵W(xué)學(xué)習(xí)的那么好的原因，全都是為了看得懂佩雷爾曼的對(duì)龐加萊猜想的證明而進(jìn)行大量的學(xué)習(xí)的結(jié)果。
想到這里，君信便找到了一個(gè)偏僻的地方，坐了下來之后，開始了自己的推理證明過程。而首先下筆的便是1922年英國數(shù)學(xué)家莫德爾提出的一個(gè)著名的猜想，這是證明費(fèi)馬大定理的重要的一個(gè)猜想推論。