翌日上午八點(diǎn)，國(guó)決第二場(chǎng)開(kāi)考。
第一題是道數(shù)論題，題目是這樣的：
1
1-1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1-5-10-10-5-1
1-6-15-20-15-6-1
......
1、求第2019行數(shù)字之和；
2、取上述數(shù)字中的前100橫作為模型，按某種特定規(guī)律向上或向下移動(dòng)此模型中的任意列數(shù)字串，使得：移動(dòng)后形成的模型，其前100橫數(shù)字之和形成的數(shù)列an中，擁有最多項(xiàng)的斐波那契數(shù)。
3、求an的表達(dá)式。
這個(gè)看起來(lái)像黑客帝國(guó)里電腦代碼的東西，就是楊輝三角，也被稱作帕斯卡三角形。
對(duì)于楊輝三角，相信每一個(gè)高中生都不陌生，甚至不止是高中生，就連小學(xué)生也都接觸過(guò)楊輝三角。
不信回去翻翻小時(shí)候的寒暑假作業(yè)，里面一定就有關(guān)于楊輝三角的思考題，一般都是觀察數(shù)字排列規(guī)律，要求推算出三角里的某一個(gè)數(shù)字。
當(dāng)然，小學(xué)生只能做出簡(jiǎn)單的楊輝三角，像是要求第2019項(xiàng)數(shù)字之和，這種靠純推算，那就是算到死都算不出來(lái)的！
只能用楊輝三角的求和公式：第n行數(shù)字和為2n-1。
得出來(lái)的答案是22018。
第一問(wèn)純屬送分題，能坐在國(guó)決賽場(chǎng)教室里的人，是絕不可能不知道楊輝數(shù)列的求和公式的。
難點(diǎn)在后面。
第二問(wèn)，取楊輝三角的前100橫作為模型，要求以特定規(guī)律上下移動(dòng)模型中的任意列數(shù)字串，在移動(dòng)后形成的新模型中，再取前100行數(shù)字之和形成新的數(shù)列an項(xiàng)中，使an的集中擁有最多的斐波那契數(shù)。
張偉抓著腦殼，感覺(jué)有點(diǎn)無(wú)從下手。
這第二問(wèn)屬于一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題——還是放得超級(jí)開(kāi)的那種開(kāi)放性！而也正是因?yàn)檫@種開(kāi)發(fā)性，才使得這一問(wèn)非常的難！
一百列數(shù)字串，選擇任意任意上下移動(dòng)，這兩個(gè)“任意”一組合，特么得有上億種移動(dòng)方案??！
上億種啊！
再加上每一次移動(dòng)后，跟著還要運(yùn)算100次才能得到an的所有項(xiàng)，也就是說(shuō)要把全部移動(dòng)方式下的an一一羅列出來(lái)，你需要經(jīng)行100000000000次運(yùn)算！
而且還是多項(xiàng)運(yùn)算！
如果真的用這種羅列的傻辦法解這道題，別說(shuō)四個(gè)半小時(shí)了，就是給你四個(gè)半輩子你都算不出答案！
所以，這一題一定是有什么捷徑的，否則這道題根本就是反人類(lèi)嘛！
張偉先理了一下思路：第二問(wèn)的第一步，應(yīng)該得先確定如何移動(dòng)數(shù)字串，因?yàn)橹挥邢纫苿?dòng)了數(shù)字串之后，an的集才是固定；而只有an的集固定以后，才能確定這個(gè)集里面究竟有多少個(gè)斐波那契數(shù)。
那么問(wèn)題就來(lái)了，究竟該如何移動(dòng)數(shù)字串呢？
這是個(gè)問(wèn)題......
張偉把所有他想得到的數(shù)論知識(shí)點(diǎn)，逐一在腦子里面過(guò)了一邊：
歐幾里德的質(zhì)數(shù)無(wú)限證明？倒是跟質(zhì)數(shù)有關(guān)，但是跟這一題風(fēng)馬牛不相及啊；
中國(guó)剩余定理？用在這一題面前，倒是顯得挺剩余的；
歐拉定理和費(fèi)馬小定理？高斯的二次互反律？或者無(wú)窮遞降法？這些更是相去甚遠(yuǎn)......
“沒(méi)道理??！”快半個(gè)小時(shí)過(guò)去了，張偉還是束手無(wú)策，“第一題就這么難，這是存心不讓人活了？”
百思不得其解的張偉，稍稍瞄了一下教室里其他的考生：一個(gè)個(gè)抓耳撓腮的，卷面同樣是空空如也。
“看來(lái)辣雞的不止我一個(gè)啊......”看到其他人和自己同樣“辣雞”，張偉心里就好受多了，“要不這題先放放？”
看看時(shí)間，還有四分鐘就半個(gè)小時(shí)，張偉決定再試這最后四分鐘。
前面順著走怎么都走不通，張偉這次決定要反著走試試，大膽假設(shè)，小心求證：先大膽的假設(shè)，an的集就是有斐波那契數(shù)列的前100項(xiàng)！
張偉先把a(bǔ)n的前十羅列出來(lái)：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.
再按照假設(shè)的an值來(lái)移動(dòng)數(shù)字串：a1=1，不用移動(dòng)；a2=1，第2列要往下移動(dòng)1格；a3=2，第3列要往下移動(dòng)2格；a4=3，第4列要往下移動(dòng)3格......
剛移動(dòng)了三下，好像就有規(guī)律了！將每一列都往下移動(dòng)n-1格？
張偉按照這種規(guī)律，繼續(xù)往下移動(dòng)嘗試著：
第5列往下移動(dòng)5-1=4格，得到a5=5，符合！
第6列往下移動(dòng)6-1=5格，得到a6=8，符合！
第7列往下移動(dòng)7-1=6格，得到a7=13，還是符合！
第8列、第9列、第10列......
張偉一直移動(dòng)到20列，全都符合！
答案出來(lái)了：按照“每一列數(shù)字串都往下移動(dòng)n-1格”的規(guī)律移動(dòng)數(shù)字串，移動(dòng)后形成的模型，其前100橫數(shù)字之和形成的數(shù)列an中的項(xiàng)，全部是斐波那契數(shù)！
第二小問(wèn)，搞定！
第二問(wèn)找到正確的規(guī)律，第三問(wèn)在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，基本就屬于送分題了：
f(1)=c(0,0)=1。
f(2)=c(1,0)=1。
f(3)=c(2,0)+c(1,1)=1+1=2。
f(4)=c(3,0)+c(2,1)=1+2=3。
f(5)=c(4,0)+c(3,1)+c(2,2)=1+3+1=5。
f(6)=c(5,0)+c(4,1)+c(3,2)=1+4+3=8。
f(7)=c(6,0)+c(5,1)+c(4,2)+c(3,3)=1+5+6+1=13。
……
f(n)=c(n-1,0)+c(n-2,1)+…+c(n-1-m,m)(m<=n-1-m)
第三問(wèn)也搞定，打完收功，第一題21分——到手！
看看時(shí)間，8：46，才用了不到一個(gè)小時(shí)！再看看隔壁左右的考生，還是都對(duì)著空空如也的卷子抓耳撓腮在！
前方人員在抓耳撓腮；
左方人員在抓耳撓腮；
右方人員在抓耳撓腮；
后方人員在抓耳......不對(duì)??！
張偉猛地一回頭，又看到了昨天那位大叔！
劉干事和張偉大眼瞪著小眼。
“考試的時(shí)候不準(zhǔn)東張西望！”劉干事把臉一板，假裝從張偉身邊路過(guò)......
又見(jiàn)路過(guò)——不管張偉信不信，反正劉干事自己是信了......